ทวงคืนคะแนน PAT1 เรขาคณิตวิเคราะห์

ใกล้เข้ามาเรื่อยๆ แล้วกับการสอบ PAT1 พร้อมกันหรือยังคะ ถ้ายังไม่พร้อมไม่เป็นไร วันนี้พี่บิวจะพาน้องๆ ไปทวงคะแนน PAT1 เรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ ออกสอบ PAT1 ปีละประมาณ 3-5 ข้อ เรื่องนี้เนื้อหาอาจจะดูเยอะ แต่ก็มีข้อที่สามารถเก็บคะแนนได้ง่ายเหมือนกัน ง่ายยังไงมาดูกันเลยค่ะ

ทบทวนสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์

เส้นตรง \(y=mx+c\)
-ความชัน
-ตัดแกน  \(y\) ที่ \(c\)

เส้นตรง \(Ax+By+C = 0\)
-ความชัน \(\frac{-A}{B}\)

เส้นตรงที่ผ่าน (\(x_1\) , \(y_1\)) และ (\(x_2\) , \(y_2\))
-ความชัน \(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)
-สมการ \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)  คือ ความชัน

ตัวอย่างโจทย์ PAT1 ต.ค.59

กำหนดเส้นตรง \(3x-4y-6=0\) ตั้งฉากกับเส้นตรง \(x+ay+3=0 \) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง ถ้าเส้นตรงทั้งสองตัดกันที่จุด \(A\) และตัดแกน \(x\) ที่จุด \(B\) และจุด \(C\) ตามลำดับ แล้วพื้นที่รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ตรงกับข้อใด

1. 6 ตารางหน่วย
2. 8 ตารางหน่วย
3. 10 ตารางหน่วย
4. 12 ตารางหน่วย
5. 14 ตารางหน่วย

โจทย์ต้องการพื้นที่รูปสามเหลี่ยม จากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม คือ \(\frac{1}{2}\) (ฐาน)(สูง) แต่เรายังไม่สามารถแทนค่าสูตรลงไปได้เลย เพราะเรายังไม่รู้ค่าของฐานและความสูง เราจะหาฐานและความสูงจาก เส้นตรง 2 เส้นที่โจทย์กำหนดให้

จากเส้นตรง 2 เส้น \(3x-4y-6=0\) กับ \(x+ay+3=0 \) ที่ตั้งฉากกัน หมายความว่าความชันของทั้งสองสมการคูณกันได้ -1

จากเส้นตรง \(3x-4y-6=0\) และจากสูตร ความชัน  \(={\frac{-A}{B}}\) จะได้ความชันคือ \(={\frac{-3}{-4}}={\frac{3}{4}}\)และจากเส้นตรง  \(x+ay+3=0 \) และความชันของทั้งสองสมการคูณกันได้ -1

ดังนั้น ความชันของ \(x+ay+3=0 \) คือ \({(\frac{3}{4})(\frac{-1}{a})}= -1\)

                                                       \({\frac{-3}{4}}a=-1\)

         \(-3=-4a\)

         \(a={\frac{3}{4}}\)

จะได้สมการนี้คือ \(x+{\frac{3}{4}}y+3=0 \) หรือ คูณ 4 ทั้งสมการเป็น \(4x+3y+12=0\)

หาจุด B โจทย์บอกว่า เส้นตรง \(3x-4y-6=0\) ตัดแกน \(x\) ที่จุด \(B\) นั่นคือ \(y=0\)

\(3x-4(0)-6=0\)
\(3x-6=0\)
\(x=2\)

ดังนั้น จุด B คือ (2,0)

หาจุด C โจทย์บอกว่า เส้นตรง  \(x+{\frac{3}{4}}y+3=0 \) ตัดแกน \(x\) ที่จุด \(C\) นั่นคือ \(y=0\)

\(x+a(0)+3=0\)
\(x+3=0\)
\(x=-3\)

ดังนั้น จุด C คือ (-3,0)

หาจุด A  หาได้จากการแก้สมการเส้นตรงทั้งสองเส้น

จากสมการเส้นตรงทั้งสอง \(3x-4y-6 = 0 ………..(1)\)
\(4x+3y+12 =0……….(2)\)

การแก้สมการ 2 ตัวแปร เราต้องกำจัดตัวแปรใดตัวแปรนึงหายไปก่อน ในข้อนี้พี่จะกำจัดตัวแปร \(x\) นะคะ
ก่อนอื่นก็ทำสัมประสิทธิ์หน้า \(x\) ให้เท่ากัน

จาก (1) คูณกับ 4 จะได้ \(12x-16y-24 = 0……….(3)\)
จาก (2) คูณกับ 3 จะได้ \(12x-9y+36 = 0………..(4)\)

นำ (4)-(3) จะได้ \(25y+60 = 0\)
\(25y = -60\)
\(y= {\frac{-12}{5}} = -2.4\)
จะได้ ค่า \(y\) ของจุด \(A\) คือ \({\frac{-12}{5}}\) หรือ \(-2.4\)

นำจุดทั้งหมดของ \(A\) \(B\) \(C\) มาวาดกราฟ จะได้ดังรูป

สังเกตุไหมคะว่าจุด \(A\) พี่บิวไม่ได้หาค่า \(x\) เพราะว่าจุด \(A\) เป็นส่วนของความสูงรูปสามเหลี่ยมและอยู่บนแกน \(y\) ดังนั้นเรารู้แค่ค่า \(y\) ก็เพียงพอแล้วค่ะ

เมื่อเราได้ค่า \(A\) \(B\) \(C\) ครบแล้ว จะได้ ฐาน จาก -3 ถึง 2 เท่ากับ 5
ความสูง คือ \({\frac{12}{5}}\)

พื้นที่สามเหลี่ยม \(={\frac{1}{2}}\) (ฐาน)(สูง)

  \(= {\frac{1}{2}}\) (5)(\frac{12}{5})

  \(={\frac{1}{2}}\) (12)

\(=6\)

จะได้คำตอบคือตัวเลือกที่ 1 เป็นคำตอบของข้อนี้ไปค่ะ

เป็นยังไงบ้างคะกับทวงคะแนนสอบข้อนี้ ขั้นตอนอาจจะเยอะนิดนึงแต่ไม่ยากเลยใช่ไหมคะ ข้อง่ายๆแบบนี้อย่าลืมแชร์ให้เพื่อนๆ #dek62 ได้อ่านด้วยกันนะคะ หากน้องๆมีข้อสงสัยเพิ่มเติม สอบถามมาได้ที่ line @schooldekd หรือ facebook : schooldekd

หากน้องๆ อยากจะติวเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ให้แม่นขึ้นกว่าเดิม สามารถสมัครเรียนได้ที่ พิชิต TCAS – เรขาคณิต (เรขาคณิตวิเคราะห์ ตรีโกณมิติ เวกเตอร์) สอนโดย อ.กิ๊ฟ  ผศ.ดร.วิทวัชร์ โฆษิตวัฒนฤกษ์ อาจารย์ประจำภาควิชาคณิตศาสตร์ ม.มหิดล ที่มีประสบการณ์การสอนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาจนถึงปริญญาเอกทั้งในและต่างประเทศมากกว่า10 ปี  ทั้งยังเป็นตัวแทนประเทศไทยแข่งคณิตศาสตร์โอลิมปิก 3 สมัยโอกาสที่จะได้เรียนกับตัวจริงด้านคณิตศาสตร์แบบนี้มีไม่บ่อยห้ามพลาดนะคะ