อีกไม่กี่วันก็ถึงวันสอบ PAT1 แล้ววันนี้พี่บิวทีม #พรรคพี่ช่วยน้องสอบติด ยังคงตามติดช่วยเหลือน้องๆ อย่างใกล้ชิด โค้งสุดท้ายวันนี้พี่บิวจะพาน้องๆ ไปทวงคะแนน PAT1 เรื่องเวกเตอร์ซึ่งในข้อสอบ PAT1 เรื่องเวกเตอร์จะออกสอบ 2 ข้อและมักจะออกเรื่องการคูณเวกเตอร์ (การดอทและการครอส) และเวกเตอร์ที่ประกอบกันเป็นรูปสามเหลียม ข้อสอบจะออกไม่ยากมาก ไม่ยากยังไงมาทวงคะแนนคืนพร้อมพี่บิวเลยค่ะ
ทบทวนสมบัติของเวกเตอร์
– เวกเตอร์จากจุด \(A\) ไป \(B\) เขียนแทนด้วย \(\vec {AB}\)
– เวกเตอร์จากจุด \((0,0,0)\) ไป \((a,b,c)\) เขียนแทนด้วย \(a{\vec i}+b{\vec j}+c{\vec k}\)
– ขนาดของเวกเตอร์ \(u = a{\vec i}+b{\vec j}+c{\vec k}\) คือ \(\vert u \vert{ = \sqrt{a^2+{b^2}+{c^2}}}\)
– การบวก ลบ คูณด้วยค่าคงที่ของเวกเตอร์มีสมบัติเหมือนจำนวนจริง
– ผลคูณเชิงสเกลาร์ (การดอท)
– \(\vec u {\cdot}\vec v\)\(\,\,\,= ad+be+cf\)
– \(\vec u {\cdot}\vec v\)\(\,\,\,=\vert \vec u \vert{\vert \vec v \vert}cos(θ)\)
– \(\vec u {\cdot}\vec u\)\(\,\,\,= {\vert \vec u \vert}^2\)
– \(\vec u {\cdot}\vec v = 0\) ก็ต่อเมื่อ \(\vec u\) ตั้งฉากกับ \(\vec v\)
– \(\vec u {\cdot}\vec v\)\(\,\,\,={\vec u {\cdot}\vec v}\)
– \(\vec u {\cdot}(\vec v+{\vec w})\,=\)\(\vec u {\cdot}\vec v\)\(\,+\,\vec u {\cdot}\vec w\)
-ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (การครอส)
– \(\vec u {\times}\vec v\)\(\,\,\,=det{\left[\matrix{a& d&{\vec i}\\ b&e&{\vec j}\\c&f&{\vec k}}\right]}\)
– \(\vec u {\times}\vec v\)\(\,\,\,=\vert \vec u \vert{\vert \vec v \vert}sin(θ)\)
– \(\vec u {\times}\vec u\)\(\,\,\,= {\vec 0}\)
– \(\vec u {\times}\vec v {= \vec 0}\) ก็ต่อเมื่อ \(\vec u\) ขนานกับ \(\vec v\)
– \(\vec u {\times}\vec v\)\(\,\,\,= -{\vec v {\times}\vec u}\)
– \(\vec u {\times}(\vec v+{\vec w})\,=\)\(\vec u {\times}\vec v\)\(\,+\,\vec u {\times}\vec w\)
ตัวอย่างข้อสอบ PAT1 ก.พ.61
กำหนดให้เวกเตอร์ \(\vec a = {\vec i}+{\vec j}+2{\vec k}\) ถ้า \(\vec b\) เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยที่ \(({\vec b}+{\vec a}){\cdot}({\vec b}-{\vec a}) = 10 \)และเวกเตอร์ \(\vec a\) ทำมุม \(60^\circ\) กับเวกเตอร์ \(\vec b\) แล้วขนาดของเวกเตอร์ \(\vec a{\times}\vec b\) อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้
1. (0,2] 2. (2,4] 3. (4,6] 4. (6,8] 5. (8,10]
โจทย์ถามว่าขนาดของเวกเตอร์ \(\vec a{\times}\vec b\) อยู่ในช่วงในข้อใดต่อไปนี้
โจทย์ให้ \(\vec a = {\vec i}+{\vec j}+2{\vec k}\) ,\(({\vec b}+{\vec a}){\cdot}({\vec b}-{\vec a})\) ,\(\vec a\) ทำมุม \(60^\circ\) กับเวกเตอร์ \(\vec b\)
โดยที่สูตรของขนาดเวกเตอร์ที่มีมุม \(\theta\) คือ \(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=\vert \vec a \vert{\vert \vec b \vert}sin(θ)\) หมายความว่าพี่บิวต้องรู้ขนาดของเวกเตอร์ \(\vec a\),\(\vec b\) ก่อน ซึ่งหาได้จาก
\(({\vec b}+{\vec a}){\cdot}({\vec b}-{\vec a}) = 10 \)
\({\vec b\vec b}+{\vec b(-\vec a)}+{\vec a\vec b}+{\vec a(-\vec a)}=10\)
\({\vec b\vec b}+{\vec a(-\vec a)}=10\)
\({\vert \vec b\vert}^2+{\vert \vec a\vert}^2 = 10 ……….(*)\)
ถึงตรงนี้จะไปต่อยังไงดี พี่บิวขอตั้งให้เป็นสมการ \((*)\) ก่อน และจากที่โจทย์ให้ \(\vec a = {\vec i}+{\vec j}+2{\vec k}\) มา
ดังนั้นเราสามารถหาขนาดของ \(\vec a\) ได้จากสมการนี้
จากสูตร \(\vert \vec u \vert{ = \sqrt{a^2+{b^2}+{c^2}}}\) จะได้ว่า \(\vert \vec a \vert{ = \sqrt{1^2+{1^2}+{(-2)^2}}}\)
เมื่อได้ขนาดของ \(\vec a\) แล้วก็ไปแทนในสมการ \((*)\) ได้เลยค่ะ
\({\vert \vec b\vert}^2+{\vert \vec a\vert}^2 = 10\)
\({\vert \vec b\vert}^2+{(\sqrt{6})}^2 = 10\)
\({\vert \vec b\vert}^2+6 = 10\)
\({\vert \vec b\vert}^2 = 10-6\)
\({\vert \vec b\vert}^2 = 4\)
ตอนนี้พี่บิวก็ได้ขนาดของเวกเตอร์ \(\vec a\) ,\(\vec b\) แล้ว พี่บิวก็สามารถแทนในสูตร \(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=\vert \vec a \vert{\vert \vec b \vert}sin(θ)\) ได้แล้ว
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=\vert \vec a \vert{\vert \vec b \vert}sin(θ)\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(\sqrt{6})(4)sin(60^\circ)\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(\sqrt{6})(4)(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(\sqrt{6})(2)(\sqrt{3})\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(2)(\sqrt{6\times3})\) ;การคูณสแคร์รูทสามารถยุบรวมกันได้
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(2)(\sqrt{2\times3\times3})\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=(2)(3)(\sqrt{2})\)
\(\vec a {\times}\vec b\)\(\,\,\,=6\sqrt{2}\)
แค่นี้เราก็ได้ขนาดของ \(\vec a{\times}\vec b\) เท่ากับ \(6\sqrt{2}\) ก็คือประมาณ \(6\times1.4 = 8.4\) จะได้ว่าคำตอบอยู่ในช่วง (8,10] ดังนั้นตัวเลือกที่ 5 จึงเป็นคำตอบของข้อนี้ไปค่ะ
แค่แทนสูตรก็ได้คำตอบแล้วง่ายๆ แบบนี้อย่าลืมแชร์ให้เพื่อนๆ #dek62 ได้อ่านด้วยกันนะคะ สุดท้ายแล้วพี่บิวก็ขอให้น้องๆ สอบได้คะแนนเยอะๆ ทุกคนเลยนะคะ และถ้าน้องๆ มีข้อสงสัยอยากสอบถามเพิ่มเติมสามารถสอบถามมาได้ที่ line @schooldekd หรือ facebook : schooldekd
หรือถ้าน้องๆสนใจอยากแม่นเรื่องเวกเตอร์มากกว่านี้ สามารถสมัครเรียนได้ที่ พิชิต TCAS – เรขาคณิต (เรขาคณิตวิเคราะห์ ตรีโกณมิติ เวกเตอร์) สอนโดย อ.กิ๊ฟ ผศ.ดร.วิทวัชร์ โฆษิตวัฒนฤกษ์ อาจารย์ประจำภาควิชาคณิตศาสตร์ ม.มหิดล ที่มีประสบการณ์การสอนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาจนถึงปริญญาเอกทั้งในและต่างประเทศมากกว่า10 ปี ทั้งยังเป็นตัวแทนประเทศไทยแข่งคณิตศาสตร์โอลิมปิก 3 สมัยโอกาสที่จะได้เรียนกับตัวจริงด้านคณิตศาสตร์แบบนี้มีไม่บ่อยห้ามพลาดนะคะ
